Himpunan

A.    HIMPUNAN

1.     Pengertian Himpunan

Perhatikan lingkungan sekitar kalian. Pasti dengan mudah kalian dapat menemukan kumpulan atau kelompok berikut ini.

a.         Kumpulan hewan berkaki dua.

b.         Kumpulan warna lampu lalu lintas.

c.         Kelompok tanaman hias.

Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, dan

hijau. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan, karena dengan jelas dapat ditentukan anggotanya.

t

 Himpunan  adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Sekarang, perhatikan kumpulan berikut ini.

a.      Kumpulan lukisan indah.

b.     Kumpulan wanita cantik di Indonesia.

Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain. Dengan k ata lain, k umpulan lukisa indah t idak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di Indone-

sia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurut.

orang lain. Jadi, kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.

2.         Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

contoh :

Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.

a.      A  a dalah  h impunan bilangan cacah kurang dari 6.

b.     P  adalah  himpunan huruf-huruf vokal.

c.      Q  a dalah  h impunan tiga binatang buas.

Penyelesaian:

a.         A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

b.         P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}.

c.         Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala.

Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan Î. Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu  himpunan  dikatakan         bukan  anggota  himpunan  dan dinotasikan dengan Î. Berdasarkan  contoh  di  atas,  A  adalah  himpunan  bilangan cacah kurang dari 6, sehingga A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bilangan 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis 0 Î A, 1 Î A, 2 Î A, 3 Î A, 4 Î A, dan 5 Î A. Karena 6, 7, dan 8 bukan anggota A, maka ditulis 6 Ï A, 7 Ï A, dan 8 Ï A. Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} makan(A) = banyak anggota himpunan A = 6. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

3.         Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

a.         Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh:  P adalah himpunan bilanganprima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b.         Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh:  P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x bilangan prima}.

c.         Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota- anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:   P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

4.         Himpunan Berhingga dan Himpunan T ak Berhingga

Pada bagian depan telah kalian ketahui bahwa banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka kalian dapat  menentukan  banyaknya  anggota himpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5. Himpunan A disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A berhingga. Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4, 6, . ..}, dengan n(B) =  tidak berhingga. Himpunan B disebut himpunan tak berhingga , karena banyaknya a nggota B tak berhingga. Himpunan  yang  memiliki  banyak  anggota  berhingga  disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

B.    HIMPUNAN  KOSONG  DAN  HIMPUNAN SEMESTA

1.         Himpunan Kosong dan Himpunan Nol

Di  bagian  depan  kalian  telah  mempelajari  mengenai banyaknya anggota suatu himpunan dan notasinya. Apakah setiap himpunan pasti mempunyai anggota? Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisi persegi adalah empat. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau f. Jika R =  { x  |  x  < 1,  x Î C} maka R =  {0} atau n(R) =  1. Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong.

2.         Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S.

C.        HIMPUNAN BAGIAN

Pengertian Himpunan Bagian

Agar kalian dapat memahami mengenai himpunan bagian, perhatikan himpunan-himpunan berikut.

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 6}

Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan C. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C, ditulis A Ì C atau C É A. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A Ì B atau B É A. Sekarang perhatikan himpunan B dan himpunan C.

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 5}

Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C, karena 6 Ï C. Dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunan bagian dari C, ditulis B Ë C. (B Ë C dibaca: B bukan himpunan bagian dari C). Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat

anggota A yang bukan anggota B, dan dinotasikan A Ë B.

D.       HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN

Setelah kalian mempelajari mengenai himpunan dan cara menyatakannya, pada bagian ini kalian akan mempelajari hubungan antarhimpunan. Diketahui A = {burung, ayam, bebek} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunan A. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing.

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A. Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.

E.     OPERASI HIMPUNAN

1.     Irisan Dua Himpunan

a.         Pengertian irisan dua himpunan

Cobalah kalian ingat kembali tentang anggota persekutuan dari dua himpunan.

Misalkan A = {1, 3, 5, 7 , 9}, B = {2, 3, 5, 7 }. Anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 5, 7}. Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B. Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua himpunan, dinotasikan dengan Ç ( Ç dibaca: irisan atau interseksi). Jadi, A Ç B = {3, 5, 7}.

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut. A Ç B = {x | x Î A dan x Î B}

b.         Menentukan irisan dua himpunan

1.     Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Irisan dari himpunan A dan B adalah A Ç B = {1, 3, 5} = A. Tampak bahwa A = {1, 3, 5} Ì B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Jika A Ì B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A. Jika A Ì B maka A Ç B = A.

2.     Kedua himpunan sama

Di depan telah kalian pelajari bahwa dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadi

anggota A. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau semua anggota B.

Jika A = B maka A Ç B = A atau A Ç B = B.

3.     Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas(berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.

2.     Gabungan Dua Himpunan

a.      Pengertian gabungan dua himpunan

Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B dituliskan sebagai berikut. A ÈB = {x | x Î A atau x Î B}

b.     Menentukan gabungan dua himpunan

Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Perhatikan bahwa A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehingga

A È B = {1, 2, 3, 4, 5} = B.

Jika A Ì B maka A È B = B.

3.     Selisih (Difference) Dua Himpunan

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau

A\B.

Catatan:

A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

A – B = {x | x Î A, x Ï B}

B – A = {x | x Î B, x Ï A}

4.     Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut. A^c = {x | x Î S dan x Ï A}

Sumber : Nuharini Dewi, Wahyuni Tri, 2008, MATEMATIKA konsep dan aplikasi, Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.