SPLSV

A.    Pernyataan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai macam kalimat berikut.

a.       Jakarta adalah ibu kota Indonesia.

b.      Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.

c.       8 > –5.

Ketiga kalimat di atas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut. Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut.

a.       Tugu Monas terletak di Jogjakarta.

b.      2 + 5 < –2

c.       Matahari terbenam di arah timur.

Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut. Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah) disebut pernyataan.

B.     Kalimat terbuka

Dapatkah kalimat menjawab pertanyaan “Indonesia terletak di Benua x”. Jika x diganti Asia maka kalimat tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat seperti “Indonesia terletak di Benua x” disebut kalimat terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan. Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

C.     PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.      Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan kalimat terbuka x + 1 = 5. Kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Selanjutnya, kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan. Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel. Jika x pada persamaan x + 1 = 5 diganti dengan x = 4 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilangan selain 4 maka persamaan x + 1 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini, nilai x = 4 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 1 = 5. Selanjutnya, himpunan penyelesaian dari persamaan x + 1 = 5 adalah {4}. Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear.

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0.

Contoh :

Dari kalimat berikut, tentukan yang merupakan persamaan linear satu variabel.

a.      

b.     

c.      

d.     

Penyelesaian :

a.      

Variabel pada 2x – 3 = 5 adalah x dan berpangkat 1, sehingga persamaan 2x – 3 = 5 merupakan persamaan linear satu variabel.

b.     

Variabel pada persamaan x2 – x = 2 adalah x berpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2 maka persamaan x2 – x = 2 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

c.      

Karena variabel pada persamaan  adalah x dan berpangkat 1, maka merupakan persamaan linear satu variabel.

d.     

Variabel pada persamaan 2x + 3y = 6 ada dua, yaitu x dan y, sehingga 2x + 3y = 6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

2.      Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dengan Substitusi

Penyelesaian persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dengan cara substitusi, yaitu mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 4 = 7, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian :

Jika x diganti bilangan cacah, diperoleh

substitusi x = 0, maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)

substitusi x = 1, maka 1 + 4 = 7 (kalimat salah)

substitusi x = 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat salah)

substitusi x = 3, maka 3 + 4 = 7 (kalimat benar)

substitusi x = 4, maka 4 + 4 = 8 (kalimat salah)

Ternyata untuk x = 3, persamaan x + 4 = 7 menjadi kalimat yang benar.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 4 = 7 adalah {3}.

3.      Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen

Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “⇔”.Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara

a.       menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;

b.      mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat.

Penyelesaian :

4x – 3 = 3x + 5

⇔4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)

⇔4x = 3x + 8

⇔4x – 3x = 3x – 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x)

⇔x = 8

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5

adalah x = {8}.

4.      Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan

Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian selesaikan persamaan linear satu variabel.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari persamaan  , jika x variabel pada himpunan bilangan rasional.

Penyelesaian :

⇔

⇔  (kedua ruas di tambah 2)

⇔

⇔  ( kedua ruas di kurang

⇔

⇔  x  = x  (kedua ruas dikali

⇔ = -5

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan   adalah {-5}.

5.      Grafik Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4(2x + 3) = 10x + 8, jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bilangan.

Penyelesaian :

4(2x + 3) = 10x + 8

⇔8x + 12 = 10x + 8

⇔8x + 12 – 12 = 10x + 8 – 12 (kedua ruas dikurangi 12)

⇔8x = 10x – 4

⇔8x – 10x = 10x – 4 – 10x (kedua ruas dikurangi 10x)

⇔–2x = –4

⇔–2x : (–2) = –4 : (–2) (kedua ruas dibagi –2)

⇔x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.