Garis Singgung Lingkaran

1. MENGENAL SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN

     1. Pengertian dan Sifat Garis Singgung Lingkaran

         Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.

         Sifat dari garis singgung antara lain :

         a. Garis singgung lingkaran memotong lingkaran hanya pada satu titik.

         b. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkaran pada titik singgung.

        c. Garis yang tegak lurus dengan garis singgung pada titik singgung pasti melaui titik pusat lingkaran

        d. Garis yang tegak lurus dengan diameter dan melalui titik ujungnya adalah garis singgung.

     2. Melukis Garis Singgung

         a. Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

             Langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.

             a) Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang diperpanjang hingga titik Q.

             b) Buatlah busur dengan pusat P yang memotong ruas OP dan PQ di titik A dan B.

                                
             c) Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik C. Ingat, jari-jarinya harus sama.

                

             d) Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran dengan pusat O.

               
            Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
            Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.


        b. Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
            Langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.
            a) Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang terletak di luar lingkaran.

             
            b) Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.

          

            c) Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.

              
            d) Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.

            
            Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
            Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.


        c. Panjang Garis Singgung Lingkaran
           Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.

         
          Perhatikan uraian berikut.
          Pada Gambar 7.10 di samping, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB A garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.
          Perhatikan segitiga siku-siku ABO.
          Dengan teorema Pythagoras berlaku :

          Panjang garis singgung lingkaran .

      d. Layang-Layang Garis Singgung

        
         Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur.
         Perhatikan .
         Pada , OA = OB = jari-jari, sehingga adalah segitiga sama kaki.
         Sekarang, perhatikan .
         Pada , PA = PB = garis singgung, sehingga adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OAPB merupakan layang-layang. Karena sisi layang-layang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OAPB disebut layang-layang garis singgung.
a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-layang.
b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.

B. KEDUDUKAN LINGKARAN 
     Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.
(i) L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).
(ii) L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris.
(iii) L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = , sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam.
(iv) L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R. (v) L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r. (vi) L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.
(vii) L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.

     
     Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.
    Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut.
(i) Pada Gambar 7.14 kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan.
(ii) Pada Gambar 7.15 kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan.
(iii) Pada Gambar 7.16 kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.
(iv) Pada Gambar 7.17 kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan.
(v) Pada Gambar 7.19 kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.

C. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN
     1. Garis Singgung Persekutuan Luar
         a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
             Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut.
(1) Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r < R). Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.

(2) Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q dengan jari jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehingga berpotongan di titik M dan N.

(3) Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

     
(4) Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.

 
(5) Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R – r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

(6) Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D.

(7) Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F.

(8) Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

         b. Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar dua Lingkaran

              

·                     Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

·                     R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama. r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

·                     l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.

·                     k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. 

·                     SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l. Panjang SP = AP – BQ = R – r. 

·                     AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap)

        Sekarang, perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.
∆SPQ siku-siku di S sehingga :

dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar
           k = jarak kedua titik pusat lingkaran
           R = jari-jari lingkaran pertama
           r = jari-jari lingkaran kedua


      2. Garis Singgung Persekutuan Dalam
          a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
              Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini.
              (1) Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masing-masing R dan r (r < R), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya.

              (2) Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang panjangnya sama dan harus lebih besar dari setengah PQ sehingga berpotongan di titik M dan N.

              (3) Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

              (4) Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT.

              (5) Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

              (6) Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.

              (7) Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E. Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.

              (8) Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

          b. Panjang garis Singgung Persekutuan Dalam

·                     Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q. 

·                     R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r. 

·                     d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB. 

·                     k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. 

·                     SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang SQ = panjang AB = d.

·                     Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚.

·                     Sekarang perhatikan ΔPSQ. Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ. 

          PQ2 = PS2 + SQ2 SQ2 = PS2– PQ2 d2= k2– (R +r)2 ; R > r
   

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:

     dengan: d = panjang garis singgung persekutuan dalam
                 k = jarak kedua titik pusat lingkaran
                R = jari-jari lingkaran pertama
                 r = jari-jari lingkaran kedua

D. MENENTUKAN PANJANG SABUK LILITAN MINIMAL YANG MENGHUBUNGKAN DUA LINGKARAN 
     Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini.

     Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚. Kenapa demikian? Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas, dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan dua lingkaran. Oleh karena AB = CD maka
            Panjang sabuk lilitan minimal = 2AB +panjang busur ASC + panjang busur BTD
Dengan,

E. MELUKIS LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA
    1. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
        Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya. Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut suatu segitiga. Coba kalian ingat kembali pengertian garis bagi suatu segitiga dan cara melukisnya.
        Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga sebagai berikut.
        (a) Lukis' , kemudian lukis garis bagi .

        (b) Lukis pula garis bagi sehingga kedua garis bagi berpotongan di titik P.

        (c) Lukis garis PQ tegak lurus AB sehingga memotong garis AB di titik Q.
             Lukis lingkaran berpusat di titik P dengan jari-jari PQ.
             Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam .

    2. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga
        Rumus panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah

        dengan :
        r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga,
        L= Luas segitiga,
        s =1/2 keliling segitiga
        a,b,c panjang sisi-sisi segitiga,
    3. Melukis Lingkaran Luar Segitiga
       Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang terletak di luar segitiga dan melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga. Coba kalian ingat kembali pengertian garis sumbu dan cara melukisnya. Langkah-langkah melukis lingkaran luar segitiga sebagai berikut.
      (a) Lukis , kemudian lukis garis sumbu sisi AB.

      (b) Lukis pula garis sumbu sisi BC, sehingga kedua garis sumbu saling berpotongan di titik

P.

      (c) Lukis lingkaran berpusat di P dengan jari-jari PB. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar .

    4. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga
        Rumus panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah ,
       dengan :
       r = panjang jari-jari lingkaran luar segitiga,
       L= Luas segitiga,
       s =1/2 keliling segitiga
       a,b,c panjang sisi-sisi segitiga,